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一、计算题

1． 两材料和截面b ×h 均相同的悬臂梁AC 和CD ，在C 处以活动铰链相接，并在梁AC 的跨中B 处承受铅垂荷载F ，如图1所示。设材料可视为弹性-理想塑性，屈服极限为σs 。试用虚位移原理，求结构的极限荷载。

（提示:结构可能出现两种极限状态:截面A 和B 形成塑性铰，或截面D 形成塑性铰。结构的极限荷载应取两者中的较小值。）

图1

【答案】（l ）求解超静定梁

将梁沿铰链C 断开，代之以约束反力X ，如图2所示。

图2

根据梁的变形，易知AC 梁与CD 梁在铰接点C 处的位移相等，即有变形协调方程由叠加法知AC 梁中C 截面的挠度：CD 梁上C 截面的挠度:代入变形协调方程即可解得:故梁的支反力:

（2）由上分析知，梁截面A 先形成塑性铰，除固定端A 外，另一截面也形成塑性铰时，结构达到极限状态。

分析知截面D 弯矩大于B 截面弯矩，因此D 截面较B 先形成塑性铰，即结构达到极限状态时，

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其中，

有:

载:

，则该矩形截面梁的极限载荷由:得结构所能承受的极限荷

2． 图1所示轴线为半圆形的小曲率等截面平面曲杆，受竖直的力F 作用，

试用卡氏第二定理求

设

为己知。

图1

【答案】（l ）计算△By 计算各内力分量，求偏导数

由卡氏第二定理可得B 截面y 方向上的位移:

（2）计算

在B 处加一力偶m 0z ，计算各内力分量，求偏导数

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由卡氏第二定理可得

（3）计算

在B 处加一力偶m 0z ; 计算各内力分量，求偏导数

由卡氏第二定理可得

3． 试写出图1所示等截面梁的位移边界条件及连续条件，并定性地画出梁的挠曲线形状。

图1 图2 【答案】图1所示等截面梁的位移边界条件为 当x=0时，位移连续条件为:

作出梁的弯矩图，如图2所示，AB 段弯矩为正，为凹曲线，BCD 段弯矩为负，为凸曲线。A 截面为固定端，该截面挠度和转角均为零。C 截面为活动铰，挠度为零，B 截面为中间铰，满足位移连续而转角不连续条件。

综上可绘制梁的挠曲线形状，如图1中虚线所示。

当x=2a时，y c =0。

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