2018年厦门大学王亚南经济研究院868概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设二维随机向量
服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知
所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
2． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
的特征函数，由唯一性定理知
3． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
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且X 与Y 独立，
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
4． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
»
即
将
式两端对求导，并注意到
，有
这说明我们将
，即
.
式的两端再对求导，得
由此可以得到，记
则
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，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
.
9
从而，进一步，
5． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即 6． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
有
独立同分布，且
令
试证明:
其中c 为常
为
的UMVUE.
，C-R 下界为.
故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而
7． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
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是充分统计量.