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一、计算题

1． 什么是主振动？两个主振动的合成是否为简谐振动？是否是周期运动？

【答案】两个自由度系统有两个固有频率, 一定的初始条件下, 系统可分别以其中一个频率振动, 视为两个主振动. 都是谐振动. 一般条件下, 系统的振动是两个主振动的叠加, 一段不是谐振动, 也不一定为周期振动.

2． 如图所示, 物块A 的质量为

B 轮的质量为半径为R , 在水平面做无滑动滚动. 轮心用刚度

为广义坐标,

为k 长度为1的弹簧与物块A 相连, 物块A 与水平面间为光滑接触. 试以

（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （2）写出系统的第二类拉格朗日方程； （3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分

.

图

【答案】（1）系统的动能为:

系统势能为:

其中

为处于平衡位置弹簧的伸长量.

拉格朗日函数

（2）第二类拉格朗日方程

代入上一步的表达式, 得

（3）求其首次积分. 因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即

3． 多级火箭欲达到给定的最终速度，如何分配各级火箭的质量能使总质量为最小？

【答案】

可得n 级火箭每相邻两段火箭长度之比为

:时，总质量最

小.

4． 图所示两个完全相同均质轮, 图a 中绳的一端挂一重物, 重量等于P , 图b 中绳的一端受拉力F , 且F=P, 问两轮的角加速度是否相同? 绳中的拉力是否相同? 为什么？

图

【答案】两轮的角加速度和绳中拉力均不相同.

对（a ）图, 设滑轮角加速度为a , 物块加速度大小为a , 绳中拉力为FT , 可列方程为

,

解得

对（b ）图, 设滑轮角加速度为解得

绳中拉力为F.

可列方程为

5． 均质连杆AB 质量为4kg , 长l=600mm.均质圆盘质量为6kg , 半径r=100mm.弹簧刚度系数为k=2N/mm, 不计套筒A 及弹簧的质量. 如连杆在图所示位置被无初速度释放后, A 端沿光滑杆滑下, 圆盘做纯滚动. 求:（1）当AB 达水平位置而接触弹簧时, 圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量

5.

图

【答案】（1）初始时, 系统的动能为0.

当AB 到达水平位置时, 由速度投影定理可知B 点速度为0, 所以由动能定理可得

解得

（2）设AB 水平时系统动能为由动能定理

可得

解得

沿水平线向右运动，带动从动杆AB 沿铅直方向上升，

6． 半径为R 的半圆形凸轮D 以等速如图1所示。求

当弹簧达到最大压缩量时, 系统动能为

时，杆AB 相对于凸轮的速度和加速度。

图1

【答案】以AB 上的A 为动点，凸轮D 为动系。绝对运动为直线运动，相对运动为圆周运动，牵连运动为平移。

（1）速度分析，如图2（a ）所示；