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一、计算题

1． 图所示两个振动系统, 其质量为m , 弹簧刚度系数为k , 阻力系数为c.

设干扰位移导它们的受迫振动公式

.

推

图

【答案】（a ）选取系统静平衡时物块m 所在位置为坐标x 的原点, 由图（a ）得到物体运动微分方程:

将解上式得:

代入上式得:

其中,

（b ）由图（b ）得到物体运动微分方程:

将解上式得:

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代入上式得:

2． 周转齿轮传动机构放在水平面内, 如图所示. 已知动齿轮半径为r , 质量为盘；曲柄OA , 质量为

M , 使此机构由静止开始运动. 求曲柄转过角后的角速度和角加速度

.

可看成为均质圆

可看成为均质杆；定齿轮半径为R. 在曲柄上作用一不变的力偶, 其矩为

图

【答案】系统的初动能为

末动能为

其中

外力做功为

由动能定理可得

解得

式①两边对t 求导, 由

可得

3． 某平面力系向同平面内任一点简化的结果都相同，此力系简化的最终结果可能是什么？

【答案】若主矢为零，主矩不为零，则简化结果均相同，力系简化结果为合力偶；若主矢不为零，主矩无论为零还是不为零，此平面力系向任一点简化的结果不可能相同；若主矢、主矩均为零，简化结果均相同，为平衡力系。

综上所述，此力系简化的最终结果可能是一个力偶或者平衡力系。

4． 质量为m 的重物悬挂在刚度系数为k 的弹簧上, 且在光滑的铅垂滑道中运动. 在重物的中心处铰接一个质量为M 、长为21的匀质杆, 杆在铅垂平面内运动, 如图1所示.

（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标；

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（2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （3）写出系统的第二类拉格朗日方程； （4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分

.

图1

【答案】（1）以整个系统为研究对象, 物块和杆均做平面运动, 该系统具有两个自由度. 选重物A 的中心的垂直坐标y 和杆的偏角为广义坐标, 如下图所示. 因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力, 所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解.

（2）以A 的中心C 点为基点分析AB 杆质心D 的速度, 如图2所示

.

图2

根据速度合成公式有

其中系统动能为

选为零势能点, 设弹簧的原长为则系统的势能为

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