2018年青海省培养单位青海盐湖研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
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（
2）当且
即
且时则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解
，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（4）当 3．
设
即
时
此时方程组无解.
当a
, b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则
AC-CA=B可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在
，则此线性方程组必须有解
，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1
，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
4． 已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
为任意常数.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
若不相似则说明理由。
【答案】由矩阵A 的特征多项式
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得到矩阵A 的特征值是当
时，
由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵
A 有
2个线性无关的特征向量，矩阵
A
可以相似对角化，
因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
5． 已知到基
的两个基为的过渡矩阵
P.
【答案】
记矩阵
为3阶可逆阵.
由过渡矩阵定义，
可求得P 如下：
，
，因
与
均为
的基，故A 和B 均
及
，
，
. 求由基
从而
6．
设A 为n 阶矩阵，证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根
，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而A
与
的特征值也相同.
7． 设n 阶矩阵A 满足
【答案】
另一方面，由矩阵秩的性质，知因
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
，E 为n 阶单位矩阵，证明
（矩阵秩的性质）。
，故由以上两个不等式知，
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