2017年黑龙江大学信息科学技术学院820高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 3． 设
又
则（ ）•
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D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
为空间的两组基，且
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
4． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解从而
线性无关.
方法2:对向量组C ，由于
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
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.
）
二、分析计算题
6． 设
充分性设
证明令
则
这里 7． 设相似. 证明, 得阵要性因
任取
故有
【答案】取定线性空间V 的一组基. 设T ,
相似，则存在可逆矩阵S ，使如
则因
的自然
基
即
所以
8． 设
①若A 有特征值4，1，-2, 求a , b, c. ②设
【答案】①易知：
因为
是A 的特征根，代入上式，得
由此解得
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的充要条件是k 是正整数.
【答案】必要性，显然.
次多项式. 与已知矛盾.
则称
可
是关于x 的
由带余除法定理知
是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使
相似的充要条件是：存在可逆线性变换S ，使对V 中任一向量，由
在该基下的矩阵仍记为
中任给向量
显见问题等价于矩
. 如. 可得
必
相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使
充分性由题设，存在可逆阵S ，
对
从而有
.
由可
得
即相似.
是的一个特征向量，求k.