2017年青岛科技大学数理学院860高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的一组基, 则由
基
到基
的过渡矩阵为（ ）
.
【答案】（A ）
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
【答案】B
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）.
【解析】故
但当a=l时，
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有 由上述知因此 线性相关，所以线性相关，故选A. 于是 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 则 线性无关， 线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 第 3 页，共 46 页 6． 设A 为n 阶矩阵，角矩阵相似的充要条件是 【答案】在复数域中，式为 由由 7． 设式 且若 则且 与 是A 的特征多项式，呤，但的根相同（不计根的重数） 无重根， 证明：A 与对 无重根. 设A 的最小多项 无重根. 则A 的零化多项式与 无重根，故A 与对角矩阵相似. 若A 与对角矩阵相似，则 ，则的根相同（不计根的重数）是关于z 的次数 的多项式. 故 为任意数，证明：行列 并举例说明条件“次数【答案】（1）当（2）当 是不可缺少的. 中有两个数相同时，①式显然成立（•. •有两行相同）. 互不相同时，令 由于（i ）若均有 （3）条件“次数再取 的次数 则 因此F （x ）只有两种可能. 此时F （x ）最多只有， 即有n-l 个根，矛盾，即 再将x=a，代入，即证①式. 是不可缺少的，比如设n=3, 且 这时①式左端为 即①式不成立. 8． 设V 为欧氏空间， 若 则 证明： 个不同根但由②式，将 代入 是V 的一个线性函数； 若V 是n 维，则对其任一线性函数都存在唯一的向量使 【答案】是V 到实数域R 的映射显然. 又设 则由内积性质知： 第 4 页，共 46 页