2017年青岛科技大学数理学院860高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
3． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于
是非齐次线性方程
组
的三个线性无关的解，所
以
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
线性无关，
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
【答案】（C ） 【解析】设
的3个线性无关的解，为任意
又显然有基础解系.
考虑到
（否则与是
，所以有解矛盾）从而是的一个
的一个特解，所以选C.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 若都是4维列向量，且4阶行列式 【答案】C 【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 若n 阶方阵A 与B 只是第j 列不同，试证 【答案】设 则 于是 7． 若 是线性空间V 的两个子空间，证明： 这里dimW 表示子空间W 的维数. 【答案】设将（I ）扩大 为 的一组基 再将（I ）扩大为今（IV ） 的一组基 ，则 可证 下证再令 由⑤式有 由⑥，⑦两式知将⑧代入⑦，并移项得 但 将⑩代入⑧式得由 再由⑩，⑪知 线性无关，由⑨式可得 再代入⑥式有 线性无关，可得 线性无关. 再由④式知 的维数分别为的维数为r ，取的一组基（I ）并 线性无关. 设有 从而所以
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