2018年厦门大学王亚南经济研究院868概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 若因为
所以有
2． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
第 2 页，共 43 页
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
，即得
，证明:
.
；
由诸互不相容，且得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
3． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当
时，
有
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
且
（3）右连续性.
4． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
第 3 页，共 43 页
所以可分离变量，即U 与V 相互独立.
5． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
6． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:
【答案】因为令
W
的逆变换为
上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.
所以
此变换的雅可比行列式为
所以由此得
的联合密度函数为
的边际密度函数为
这表明: 7． 记
证明
【答案】
第 4 页，共 43 页
存在，所以级数绝对收敛，从而有
的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数
服从参数为1的指数分布.
相关内容
相关标签