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一、计算题

1． 由两根不同材料的矩形截面×h 杆粘结而成的悬臂梁，如图1所示。两材料的弹性模量分别为E 1和 E 2，且E 1>E2。若集中荷载F 作用在梁的纵对称面（即粘合面）内，试求材料1和2截面上所承受的剪力F s1和 F s2，并确定弯曲中心A 的位置。

图1

【答案】由平面假设可知，梁两部分变形曲率ρ相同，设距离固定端x 处截面上，梁的两部分的弯矩为M 1、M 2，则有上式两边对x 求导，可得:

又根据同一截面梁和弯矩的微分关系

由此联立即 ，可得： 。 ，可解得x 截面梁两部分承受的剪力:

如图2所示，弯曲中心A 距O 点的距离为e ，则由平衡条件

解得： 可得:

图2

2． 如图所示，受横向弯曲与偏心压缩共同作用下的矩形截面杆，试分别讨论危险截面上、下边缘应 力为零时，l 、h 、d 之间的关系。

图

【答案】对于小变形情况，可将上述工况处理为组合变形，即弯曲与压缩的组合变形。由于均布载荷的弯曲作用，危险截面上、下边缘的应力分别为

由于偏心压缩载荷F 的作用，上、下边缘的应力分别为

若使上边缘应力为零，则，即：

若使下边缘应力为零，则，即:

将式①、式②制成表

表

由表可知，若该杆较细长，如l ≥4h ，则危险面上边缘应力不可能为零，应为压缩应力。此时若要

求危险面下边缘应力为零，则应有偏心距d ≥h/3。

3． 一根搁在地基上的梁承受荷载如图1所示。假设地基的反力是均匀分布的。试分别求地基反力的集度q R ，并作梁的剪力图和弯矩图。

图1

【答案】（l ）根据平衡条件

可得地基反力的集度:

在距离A 端为x 处，可得到该梁左半部分的剪力和弯矩方程为:

由此可绘制梁左半部分的剪力和弯矩图，又该梁结构和荷载的对称性可知该梁的剪力图反对称，弯矩图对称。 综上，该梁的剪力图和弯矩图如图2（a ）所示。