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一、计算题

1． 设

是来自均匀分布

的样本，试给出一个充分统计量.

【答案】总体的密度函数为

于是样本的联合密度函数为

即

并取

由因子分解定理，

2． 设

，试求1—X 的分布.

为参数

的充分统计量.

【答案】X 的密度函数为

因

为

，所以

在（0, 1）上为严格单调减函数，其反函数

为的密度函数为

这表明:当

时，1—X 与X 同分布.

3． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账:每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率:

（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X =所掷的轮数，则

，其中

所以

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且

有

=P （出现三个正面或出现三个反面）

（重新掷）

（1）第2轮确定由谁来付账的概率为

（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为

4． 某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生做街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？

【答案】（1）总体是该市所有成年男子（的吸烟情况）； （2）样本是被调查的5000名成年男子（的吸烟情况）； （3）总体分布为二点分布

其中p 为该市成年男子的吸烟率.

5． 为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得其甲醇浓度x 及相应的“缩醇化度”y 数据如下:

表

1

（1）作散点图； （2）求样本相关系数； （3）建立一元线性回归方程； （4）对建立的回归方程作显著性检验

.

【答案】 （1）散点图如图，y 有随着x 增加而增加趋势

.

图

（2）由样本数据可以算得

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因此样本相关系数

（3）应用最小二乘估计公式，于是一元线性回归方程为

（4）首先计算几个平方和

将各平方和移入方差分析表，继续计算，可以得到

表

若取，查表知拒绝域为，

现检验统计量值落入拒绝域，因此在显著性水平0.01下回归方程是显著的. 此处， 回归方程显著性检验的p 值为（用Matiab 语句表示）

6． 设曲线函数形式为出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

7． 设随机变量X 的分布函数为

试求E （X ）. 【答案】

，则变换后的函数形式为

.

，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，试给

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