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一、计算题

1． 有一批枪弹，出厂时，其初速行测试，得样本值（单位:m/s）如下:

据经验，枪弹经储存后其初速仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速有显著降低（分别为假设

分别为

在显著性水平为下，检验的拒绝域为经计算得

，

可以判断这批枪弹的初速有显著降低. 关于本题说明一点:本题中的一对假设另一对假设

这是因为二者的拒绝域形式相同，都形如由于使用该拒绝域的检验的势函数为

是的减函数，因而要求'

与要求

等价，从而两个检验问题的拒绝域完全

，

的检验与

的检验有完全相同的拒绝域，

，若取

查表知

.

，此处“值落入拒绝域内，故拒绝原假设，

）？

，

待检验的原假设矾和备择假设

【答案】这是一个单侧假设检验问题，总体

（单位:m/s）. 经过较长时间储存，取9发进

一致. 该现象不是偶然的，具有普遍性，这从势函数的单调性得到保证.

2． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

，这样的矩形称为黄金矩形（看

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为， 试检验假设

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知， 故拒绝域为经计算

，若取显著性水平，由此，检验统计量

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上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

，查表知，

由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平

3．

设

是来自韦布尔分布

下拒绝原假设.

的样本（

已

知），试给出一个充分统计量.

【答案】样本的联合密度函数为

若令

取

由因子分解定理，

4． 设

是的充分统计量.

是来自几何分布的样本，总体分布列为

的先验分布是均匀分布

.

（1）求的后验分布；

（2）若4次观测值为4, 3, 1, 6, 求的贝叶斯估计. 【答案】 （1）样本和的联合密度函数为

，于是

因此，的后验分布为

，若采用后验期望估计，

（2）当有观测值为4, 3, 1, 6时，的后验分布为则有

5． 设随机变量

【答案】从

已知

和

求两个参数n 与p 各为多少？ 中解得n=6, p=0.4.

6． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为

表

1

表2

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已知P （XY=0）=1，试求

的分布列.

表

3

【答案】记（X , Y ）的联合分布列及各自的边际分布为

由题设条件P （XY=0）=1,

知

表

4

1所以

得0代入上表得

此时从下表可得，由此又得=0, 进而确

表

5

即（X , Y ）的联合分布列为

所以的分布列为

表

6

7． 设X , Y 相互独立, 其中X 的概率分布为

求【答案】设

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, 而Y 的概率密度为,

的概率密度.

的分布函数为