2018年浙江大学医学院314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为
. 现对样本中每一个观测值施行如下变换准差、极差和中位数.
【答案】不妨设样本A 为
样本B 为
且
因而
样本标准差为
样本极差为
样本中位数为
如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标
2． 设
是来自.
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明:当
时，
.
【答案】 （1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在
成立下，
，而犯第二类错误的概率为
这是因为在
成立下.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即查表得:
，或，由此给出
， ，
.
因而凡最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
，时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
，即
才可实现，这一结论在一般场
注:从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须合仍成立，即要使得行的，
故一般情况下人们
3． 设二维随机变量
不应要求与同时很小.
与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
服从单位圆内的均匀分布，其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关. 【答案】先求边际密度函数
和
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数，故
从而
所以X 与Y 不相关.
4． 对敌人的防御阵地进行100次轰炸, 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量, 其数学期望是2, 方差是1.69, 求100次轰炸中有180颗炸弹命中目标的概率.
【答案】设第k 次炸中目标的炸弹数为
,
由独立同分布中心极限定理知, 当n 充分大时,
故
,
命中目标的炸弹总数为
近似服从正态分布, 又由题意知,
I
5．
设
是来自韦布尔分布
的样本（
已
知），试给出一个充分统计量.
【答案】样本的联合密度函数为
若令
取
由因子分解定理，
是的充分统计量.
6． 已知离散型随机变量X 的分布函数为
求:（1）随机变最X 的分布律； （2）
【答案】（1）由题意知,
所以X 的概率分布如下
表
（2）由题意知,
所以