2017年中北大学理学院822高等代数考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 曲线
【答案】（-l , 0） 【解析】将
代入曲率计算公式, 有
整理有
, 解得x=0或-1, 又
, 所以x=-1, 这时y=0
上曲率为
的点的坐标是_____。
故该点坐标为（-1, 0） 2．
【答案】3
3． 设∣a ∣=3，∣b ∣=4，∣c ∣=5，且满足a+b+c=0，则∣a ×b+b×c+c×a ∣=_____
【答案】36 【解析】由由又由
知
知
，即
知以向量a ，b ，c 为边的三角形为直角三角形，且
4．
设则
【答案】1
【解析】由题意，构造函数
，则有
又有
，得
将
代入
得
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是_____阶微分方程。
，即
. 故
，
其中
_____。
是由确定的隐函数，
5．
【答案】
_____。
【解析】分区域去掉被积函数中的绝对值，则
6． 设
为
，其面积为A ，则
_____。
【答案】36A 【解析】由曲面方程
又
将其代入被积函数得
可知，该曲面关于xOy 平面对称，故
。
二、计算题
7． 求平行于向量a=（6，7，﹣6）的单位向量.
【答案】向量a 的单位向量为
，故平行于向量a 的单位向量为
其中
8．
求函数
在曲线
上点
处，沿曲线在
该点的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数。
【答案】先求曲线在给定点的切线方向 因为
，所以曲线在点
。又
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处的切线的方向向量可取为
故
9． 求函数
【答案】因为
, 故
10．在摆线
，
上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。
的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式
,
【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为
当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为
11．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线
的柱面方程.
。
，解得
，从而得
【答案】在过已知曲线的柱面方程.
在
曲线的柱面方程.
12．求函数
数。
【答案】按题意，方向又
在点
中消去x ，得，即为母线平行于x 轴且通
中消去y ，得，即为母线平行于y 轴且通过已知
处沿从点到点的方向的方向函
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