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一、填空题

1． 曲线L 的极坐标方程为

【答案】

于是

在

处

，

，则L 在点

处的切线方程为_____。

【解析】先把曲线方程转化为参数方

程

则L 在

点

，即

2． 设f （x ）为周期为4的可导奇函数, 且

【答案】1 【解析】当知

3．

【答案】-3π

【解析】按题中条件旋转所得的旋转曲面的方程为

，则

_____，其中为

, 即

时, ,

为周期为4的可导奇函数,

,

, 则

。

处的切线方程

为

=_____

可

为任意常数, 由

。

绕x 轴旋转一周所得曲面的外侧。

4． 部分和数列

【答案】充要

5． 设

【答案】的向量积为

有界是正顶级数收敛的_____条件。

则以

为边的平行四边形的面积为_____。

【解析】由于以两个向量为边的平行四边形的面积，等于这两个向量的向量积的模，则

故以

6． 设D 是由曲线

【答案】【解析】

与直线x+y=0及y=2所围成的有界区域，则D 的面积为_____。

为边的平行四边形的面积，即为

的向量积的模

二、计算题

7． 试确定常数a 和b , 使

【答案】利用泰勒公式

按题意, 应有

为当

时关于x 的5阶无穷小。

因此, 当 8． 设

（1）求极限（2）证明（3）求和【答案】（1）当

；

时, 是时关于x 的5阶无穷小

。

时，有

故

由（2）由

知

（3）易知

由

，反复利用此公式，得

即

故

9．

设星形线

及夹逼准则知

。

，上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方，在

原点0处有一单位质点，求星形线的第一象限的弧段对这质点的引力。

【答案】取参数t 为积分变量，变化范围为[0，π/2]，对应区间[t，t+dt]的弧长为

该弧段质量为

该弧段与质点的引力大小为

因此曲线弧对这质点引力的水平方向分量、铅直方向分量分别为