2017年暨南大学概率论与数理统计、实变函数论之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某单位调查了520名中年以上的脑力劳动者，其中136人有高血压史，另外384人则无，在有高血压史的136人中，经诊断冠心病及可疑者有48人，在无高血压史的384人中，经诊断为冠心病及可疑者的有36人. 从这个资料，对高血压与冠心病有无关联做检验，取
表示
【答案】该题完全类似于上题. 用A 表示有无高血压，它有两个水平：表示有高血压史，表示无高血压史，用B 表示诊断结果，它也有两个水平：表示诊断为冠心病及可疑者，诊断结果正常. 则由已知得下表：
表
高血压与冠心病无关联，即A 与B 是独立的. 统计表示如下：
此列联表独立性检验的统计量可以表示成
检验的假设为
此处
此处观测值远远超过临界值，故拒绝原假
，样本标准差s=2.6cm，
设，即认为高血压与冠心病有关系. 此处的P 值为
2． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数为问该批木材小头的平均直径能否认为不低于12cm （取
【答案】这里的原假设和备择假设分别为
拒绝域为
当取
时，
检验统计量
u 值落入拒绝域内，因此拒绝原假设，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm.
3． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本，求位置参数的置信水平近似为
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）？
的置信区间.
【答案】由于此柯西分布关于对称，故是总体中位数. 其样本中位数
从而可知位置参数的置信水平近似为
的置信区间为
4． 在一本书上我们随机地检查了10页, 发现每页上的错误数为
试计算其样本均值、样本方差和样本标准差. 【答案】样本均值
样本标准差
样本方差
所以
5． 一批产品共有100件，其中10件是不合格品. 根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品逐个检验.
（1）试求5件中不合格品数X 的分布列； （2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？ 【答案】（1）X 的分布列为
计算结果列表略.
，因（2）“需要对这批产品进行逐个检验”则意味着“检验5个产品，至少有一个不合格品”此所求概率为
6． 如果二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数为
试求X 和Y 各自的边际分布函数. 【答案】因为
所以X 和Y 各自的边际分布函数为
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可见, 这两个边际分布都是指数分布, 但这两个分布对应的随机变量不相互独立.
7． 设随机变量X 服从区间（-1，1）上的均匀分布，求：
（1）（2）【答案】⑴
（2
）
当y<0时
，
所以得
8． 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设
此处
分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值.
现分别在两总体中取一样本
和
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值
当
时
，
当
时
，
的密度函数.
设两个样本独立. 试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域. 【答案】设X 为服用原有止痛片后至开始起作用的时间间隔，止痛片后至开始起作用的时间间隔
，立.
为此，
先构造
待检验的一对假设为
的点估计
由于
且
已知，
故
为样本，Y 为服用新
为样本，且两个样本独
的分布完全确定. 据此，可采用u 检验方法，检验统计量为
当矾成立时，为
，对于本题的检验问题，在给定的显著性水平理下，检验的拒绝域
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