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一、计算题

1． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率θ（即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使先知道

结果又是如何?

是来自二点分布b （1, θ）的一个样本，就是样本中购买此种商品的顾

是θ的置信水

平为0.95的置信区间? 其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事

【答案】设

客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，

在θ未知时，有

从而

即

这说明

区间的长度不超过2d ，即得

若α=0.05，

对第二个问题，当己知时，由于

在

当d=0.01, 0.02, 0.03时可分别算得

（或已知

是增函数，所以

样本量

），处理方法完全一样）

从而

这说明

信区间. 类似地，要求该置信区间的长度不超过2d ，即得到

譬如，

若已知

（即

）则

是θ的置信水平1-α的置

于是关于样本量的要求化为

与θ完全

是θ的置信水平1-α的置信区间. 要求该置信

随d 的增加（精度减少）迅速降低.

仍取α=0.05，当d=0.01, 0.02, 0.03时分别算得

那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.

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未知情况相比样本量约减少25%, 由此可见，若对θ事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过

2． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率：

（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X=所掷的轮数，则

所以

其中

1-p=P（重新掷）=P（出现三个正面或出现三个反面）

（1）第2轮确定由谁来付账的概率为

（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为

3． 分别用随机投点法和平均值法计算下列定积分:

【答案】（1）随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如构成n 个数对

记以记满足不等式

平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算

, 最后得的估计值为

（2）对于第二个积分

先将其化成

区间上的积分. 令

»

则

此时有

其中对

•）, 构成n 个数

以

记满足不等式

的次数, 则

平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算

最后得J 的估计值为

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）,

的次数,

则然后对每个

计

随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如

然后对每个计

4． 某箱装100件产品, 其中一、二和三等品分别为80, 10和10件. 现从中随机取一件, 定义三个随机变量

如下

试求随机变量【答案】因为

和

的相关系数

所以有

由多项分布可导出

的联合分布列如下

表

1

譬如,

表

2

所以

由此得

5． 设总体无偏估计.

【答案】由于总体

这给出

于是

若要使

为

的无偏估计，即

这给出

是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 便

为

的

由此获得乘积

的分布列

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