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一、计算题

1． 对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】

将代回原方程：

即：

所以，因此有：

同理可得：

的本征态

所以在

态中测量

的几率为：

2． 己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态

求氢原子的归一化本征函数

其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？

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其中a 为波尔半径.

【答案】⑴（2） 所以

本征函数可以表示为

|

（3）对于本征态

其对应的能量为：

角动量：

角动

量的z 分量：

3． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

1，说的本征值为±

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

是体系总自旋平方的本征态.

很容易求得

的本征值与本征矢：

的本征方程

（2）

的本征方程

可得，

故

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其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中

则题中

4． 氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z

分量（3）求总磁矩【答案】⑴

的平均值。 的z 分量

5．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

和]

贝IJ :

得：

同理，设由

代入上式，得：

故：

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的共同本征态

故

是的本征态.

（2）求自旋角动量的z

分量的平均值。

的平均值。

且有试用Schmidt 方法构成正

则：

因此：