2018年天津理工大学新能源材料与低碳技术研究院805量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． —个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态
第一激发态
【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：
其中，于是可知能量为
为自旋波函数。 简并度等于
因此相应能量为
2． —体系初始时刻的态为
相应简并度为6。
第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：
（1）求（2）如果对（3）如果对
其中
进行了测量，并得到结果
计算不确定度
可得
本征值为
故
可能测得值为
及它们的乘积
测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？
【答案】（1）由公式故
（2）由题意，m=-l，0, 1
而
概率
概率
.
概率（3）易知
于是有
因此
3． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.
（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由
和由
表象中，
很容易求得
分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同
是体系总自旋平方的本征态.
的本征值与本征矢：
1，说的本征值为±
的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符
的本征方程
（2）
的本征方程
可得，
故
（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中
则题中
4． 设
故
是
的本征态.
的共同本征态
其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：