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一、解答题

1．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是当

时，由秩

知

有2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。

2． 设线性方程

m

【答案】

对线性方程组的增广矩阵

试就

讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.

作初等行变换，如下

（1

）当

即

且

时

则方程组有惟一答:

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（2）

当

且

即

且

时

则方程组有无穷多可得其一个特解

解.

此时原方程组与同解，解得其基础解系为

为任意常数. 此时方程组无解. 时

故原方程组的通解为

（3）当（4）当 3．

设

即

时

此时方程组无解.

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，

并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设

则AC-CA=B

可变形为

即得到线性方程组

若要使

C 存在

，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，

所以方程组的通解为

也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为

其中

4． 设矩阵.

【答案】

为任意常数.

求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角

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于是A 的3个特征值为（Ⅰ）当

且

时，A 有3个不同特征值

，故4

可对角化，且可对角化为

（Ⅱ）当a=0

时

，

此时A 有二重特征值1，

仅对

应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.

（Ⅲ）当

时，

此时

A

有二重特

征值

而

仅对应

1个线性无关的特征向量

，故此时

A 不可对角化.

二、计算题

5

．

从矩阵A 中划去一行得到矩阵B

, 问A , B

的秩的关系怎样？

【答案】由矩阵秩的性质，

有

6． 在

中求向量

在基

下的坐标.

下的坐标就是a 由向量组

的解. 由

线性表示式中对应的

【答案】由定义，向量在基系数，也就是方程