2018年仲恺农业工程学院农产品加工及贮藏工程314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
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的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
故
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
构
将代入得，
解得此方程组
故所求的方程组可取为
3．
已知
对角矩阵.
是矩阵的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量
；
的特征向量；
也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5．
设
证明向量组【答案】
列向量组其中系数矩阵K 为
其行列式由（3）式即得），
从而
6． 验证：
（1）2阶矩阵的全体；
（2）主对角线上的元素之和等于0
的2
阶矩阵的全体（3）2阶对称矩阵的全体个基.
【答案】（1）显然对于矩阵的加法和数乘是封闭的，并且满足线性运算8条规律，由定义，对于矩阵的加法和数乘构成线性空间. 在
中取向量组
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与向量组
和
等价.
依次构成矩阵A 和B
，于是有
B=AK，（3）
，
故K 可逆.
，
此表明与
等价.
能由
线性表示（其表示的系数矩阵为
；
对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一
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