2017年内蒙古民族大学物理与电子信息学院707量子力学考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067
（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，
即所求概率为
（2）A
【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即
2． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率
3． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性
【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说
爱因斯坦后来将此应用到了光电效应
上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的诞生奠定了基础.
4． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
5． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性 6 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】
写出粒子在球壳
中被测到的几率_____。
二、选择题
7．
【答案】
【答案】C
9． 量子力学中，体系的任意态_____，展开式系数_____。 【答案】
10．在量子力学中. 对每一个物理量A , 都有一个厄米算符
【答案】B
【解析】物理量平均值定义
为
考虑到正交归一化条件
分别为物理量本征值及取值概率，
而和力学量算符的厄米性，于是
与之对应，
若体系处在由波函数
_____
哈密顿与坐标的对易式
（ ）。
_____
_____
_____
_____。
8． —维问题中的哈密顿量为
可用一组力学量完全集的共同本征态展开，展开式为
描述的态中. 则在t 时刻. 对物理量A 测量时所得的平均值A. t为（ ）。
11．正交归一性表示为_____，如果算符是厄米算符，则它满足_____。 【答案】
12．给出如下对易关系：
【答案】
三、证明题
13．证明，
【答案】因为
可得：
14．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符
证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.
因为存在
数
（2）证：因为而（3）因为
所以
即正交
而
所以
设本征方程为
其中为本征值，上式可改写为
易解出
【答案】（1）证：对于厄米算符
所以
即本征值为实
具有周期性，
即为厄米算符。
C 为积分常数，可由归一化条