● 摘要
摘 要对于下面的合作型拟线性椭圆系统?λ??? -?pu = λa(x)|u|p-2u+ b(x)|u|α|v|βv +Fu(x,u,v) in ?,β+1q 2 λ α β-?qv = λc(x)|v| - v + b(x)|u| |v| u+Fv(x,u,v) in ?, (0–1)α+1???u = v = 0 on ??,N p 2其中? ? R (N ≥ 3)为有界光滑区域, ?pu =div(|?u| - ?u)为p-Laplacian算子,1 < p,q < N,λ为实参数, 并且α,β ≥ 0满足(α + 1)/p + (β + 1)/q = 1. 系数函1 2数a,b,c ∈ C(?)∩L∞(?). F ∈ C (?×R ,R), 而(Fu,Fv)是函数F关于(u,v)的梯度. 本文主要运用极小极大原理研究系统(0–1)非平凡解的存在性和多解性. 对非线性项F的许多假设或者定理的证明都涉及到下面的非线性特征值问题的特征值?λ??? -△pu = λa(x)|u|p-2u+ b(x)|u|α|v|βv in ?,β+1q 2 λ α β-△qv = λc(x)|v| - v + b(x)|u| |v| u in ?, (0–2)α+1???u = v = 0 on ??.在第二章中, 若非线性项F是强制的, 则当λ < λ1且充分接近于λ1时, 利用Ekeland变分原理和山路引理证明了系统(0–1)至少有三个非平凡解.在第三章中, 当a(x) = b(x) = c(x) = 1时, 首先利用Fadell和Rabinowitz的上同调指标对非线性特征值问题(0–2)的特征值进行了变分刻划, 当非线性项F满足局部的非二次条件和跨越性条件时, 证明了下面的合作型拟线性椭圆系统???? -?pu = Fu(x,u,v) in ?,-?qv = Fv(x,u,v) in ?, (0–3)???u = v = 0 on ??,至少有一个非平凡解. 进一步地，若F(x,s,t) = F(x,-s,-t), 利用Benci的伪指标理论和Rabinowtiz的指标理论证明了系统(0–3)有多对非平凡解.在第四章中, 首先给出推广的环绕结构, 这个结构与问题(0–2)的利用上同调指标定义的特征值是密切相关的. 当非线性项F满足超二次条件时, 利用相应的临界点理论得到了对任意的λ ∈ R, 系统(0–1)至少有一个非平凡解.在第五章中, 考虑p = q时的特殊情形, 首先利用余指标理论(cogenus)定义问题(0–2)的一列变分特征值,当F满足无穷远处的次线性条件和推广的Landesman-Lazer型条件时, 运用G-环绕定理证明了下面的p-Laplacian椭圆系统???? -△pu = λa(x)|u|p-2u+λb(x)|u|α|v|βv +g1(u)-h1(x) in ?,p 2 α β-△pv = λc(x)|v| - v +λb(x)|u| |v| u+g2(v)-h2(x) in ?,???u = v = 0 on ??,至少存在一个解.