2017年常州大学数理学院601理学数学考研题库
● 摘要
一、解答题
1． 如果一公司经营某种产品的边际利润函数为
【答案】
，那么
表示什么？
表示从经营第1000个产品起一直到第2000个产品的利润总量。
2． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:
（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;
（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.
，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇【答案】（l ）设曲线方程为y=y（x ）=x此为曲线方程所满足的微分方程.
，
故该点处法线斜率为（2）设曲线方程为y=y（x ）. 因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇.
，于是有由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0） 方程为
3． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为
为任意常数。
其中
为为任意常数。
可知
，这是一个二阶常用系数线性
，即微分
2
满足
求f （u ）的表达式。
将初始条件故
4． 已知函数
的表达式为
代入，可得
且
满足微分方程 求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由
得
且
可
即
知
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
5． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
，即
。
，分离变量得函数取得极大值函数取得极小值
得
，
，积分
得，即通解
为
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
（6）原方程分离变量，得可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为（10）原方程分离变量，得
或写成
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
，两端积分
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解，得
，分离变量，得，
或写成
，两端积分，得
, 两端积分，得
，两端积分，得
即或写成，故原方程的通解为
, 对于
。
，上任一点P （x , y ）
6． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
。
2
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
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