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一、计算题

1． 有一闸门，它的形状和尺寸如图所示，水面超过门顶2m ，求闸门上所受的水压力。

，则p （x ）=1000gx，取x 为积分变量，则x 的变化【答案】设水深zm 的地方压强为p （x ）范围为[2, 5], 对该区间内任一小区间[x，x+dx]，压力为闸门上所受水压力为

2． 求下列函数

和

： （1）；

（2）； （3）.

【答案】（1）

（2）

（3）

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，因此

3． 应用对参数的微分法，计算下列积分：

【答案】（1）设

则

由于

故

于是

（2）设

则

，由于

故

又当α=1时，有

因此

在x=1处连续，从而对任一

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在区间（或）上连续。

于是

4． 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:

【答案】

由于

故

于是，当p 为奇数时，有

当p 为偶数时，有

因此，对任意给定的正数

取正整数

。当n>N时，对任何正整数p ，都有

根据柯西审敛原理知，级数收敛.

（2）当n 是3的倍数时，如果取p=3n，则必有

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