● 摘要
本文主要讨论的是算子代数上的可加及线性映射. 运用算子代数的结构性质及代数分解的方法, 研究了算子代数上的保持映射和高阶 Jordan 导子, 内容涉及标准算子代数上的中心化映射, 三角代数上的中心化映射, CDC 代数上的中心化子, 自反代数上的中心化子及三角代数上的高阶~Jordan 导子和三角代数上的高阶~Jordan 三重导子. 全文共分五章, 主要内容如下:
第一章介绍了本文主要内容的研究背景, 意义和现状, 并列出了本文要用到的符号, 介绍了本文后几章将用到的中心化子、 导子、 高阶导子等概念及本文的主要结论.
第二章研究了标准算子代数上的中心化映射. 首先讨论了标准算子代数上满足 $(m+n)Phi(A^{r+1})-mPhi(A)A^{r}-nA^{r}Phi(A)in{mathcal F}I$($m,n, r$为正整数)的可加映射$Phi$ 具有 $Phi(A)=lambda A(lambdainmathcal{F})$ 的形式, 然后讨论了标准算子代数上满足 $(m+n)Phi(ABA)-(mPhi(A)BA+nABPhi(A))in {mathcal F}I $ ($m,n$ 为正整数)的可加映射$Phi$ 亦具有 $Phi(A)=lambda A(lambdainmathcal{F})$ 的形式, 并得到了在标准算子代数上的一些可加映射的等价刻画.
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第三章首先研究了三角代数上满足 $(m+n)Phi(A^{2})-(mPhi(A)A+nAPhi(A))inmathcal{Z(T)}$ ($m,nin N^{+}$)? 的可加映射, 证明了其具有$Phi(A)=lambda A(lambdainmathcal{Z(T)})$ 的形式. 其次刻画了三角代数上保持 $(m+n)Phi(A^{r+1})-(mPhi(A)A^{r}+nA^{r}Phi(A))inmathcal{Z(T)}$ ($m,n,r in N^{+}$) 的可加映射 $Phi$ 亦具有$Phi(A)=lambda A(lambdainmathcal{Z(T)})$ 的形式 .
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第四章首先研究了不可约 $CDC$ 代数上满足? $(m+n)Phi(A^{r+1})=mPhi(A)A^{r}+nA^{r}Phi(A)$($m,n, r$为正整数)的可加映射具有 $Phi(A)=lambda A(lambdainmathcal{F})$ 的形式, 进而研究了在任意的? $CDC$ 代数上满足? $(m+n)Phi(A^{r+1})=mPhi(A)A^{r}+nA^{r}Phi(A)$ ($m,n,r in N^{+}$) 的可加映射 $Phi$ 亦是中心化子. 另外利用自反代数的结构特征, 证明了在自反代数上满足 $(m+n)Phi(A^{r+1})=mPhi(A)A^{r}+nA^{r}Phi(A)$ 和 $Phi(A^{m+n+1})=A^{m}Phi(A)A^{n}$ ($m,n,r in N^{+}$) 的可加映射 $Phi$ 均具有 $Phi(A)=lambda A(lambdainmathcal{F})$ 的形式.
第五章研究了三角代数上的广义高阶Jordan导子和广义高阶 Jordan 三重导子. 本章引入了广义高阶Jordan导子、广义高阶 Jordan 三重导子和广义高阶导子的概念, 利用三角代数的结构性质和代数分解方法, 得到三角代数上的广义高阶Jordan导子和广义高阶 Jordan 三重导子都是广义高阶导子的结论.