2017年武汉大学高等研究院601高等数学(理学)考研冲刺密押题
● 摘要
一、解答题
1． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
。
所确定的函数，其中
具有
【答案】（1）由方程
（2）由（1）可得，
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
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，
有
则原方程成为
将求特解为
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
（3）将原方程写成，有，则原方程为
，积分得
故求特解为
3． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
4． 已知函数
满足
，且
，求曲线
所成
，则
，
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。
【答案】由于函数连续函数；又
故知令
，可得
，得到
；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线
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满足
，
，故，其中C （x ）为待定的
所
成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积为
5． 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
（l ）（2）（3）（4）
【答案】（l ）由（2）由于是解。
（3）由进而得于是
故（4）由
于是
=0 故 6． 设又
【答案】由
，其中，求函数值
可得
由对称性可知
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，得，得
，
，故，进而得，
故
，得
，
。
是所给微分方程的解。
，
是所给微分方程的
不是所给微分方程的解。
，得
，进而得
是所给微分方程的解。
，。
二阶可导，
，
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