2017年五邑大学数学与计算科学学院818高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 幂级数
【答案】
的收敛半径为_____。
【解析】由于
则 2． 直线L ：
【答案】【解析】设有
，故该幂级数的收敛半径为（该幂级数却奇次项）。
，绕直线L 1：
旋转一圈所产生的曲线方程是_____。
是1上的一点，当L 绕L 1旋转时，M 0旋转到
此时
又因
即
由此式得
（2）式代入（1）式中，得
即
3． 过点
【答案】
且与直线
垂直的平面方程为_____。
【解析】由题意设所求平面为
又该平面与直线
，故
垂直，则该平面的法向量为（-1, 3, 1）
又该平面经过点联立二式解得
故所求平面π为
4． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。
【答案】
。又所求平面经过点
，
即
即
故所求平面方程为
【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为，故其满足平面方程，
得
（1, -1, 2）
。
5． 微分方程
【答案】【解析】
又因为y=1时x=1，解得C=0，故x=y。 6． 由曲线量为_____。
【答案】
绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点
处指向外侧的单位法向
2
，故
满足初始条件
的解为_____。
为一阶线性微分方程，所以
【解析】根据曲线绕y 轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为
而旋转曲面上任意一点处的切平面的法向量为
其中故在点
将其单位化，得
7． 函数
【答案】【解析】构造函数
由方程
。则
所确定，则
_____。
处曲面指向外侧的法线向量为
8． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:
设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.
曲面曲线曲线【答案】（C ）
【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）
取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确.
在点在点在点
的一个法向量为
的一个切向量为
的一个切向量为
，
，
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