题目：蕴涵BCK-代数的半群刻划

1978年，K.Iseki和S.Tanaka提出了蕴涵BCK-代数的概念。随后，这类代数的研究受到较为广泛的关注，但研究结果多限于内部刻划。M.W.Chan和K.P.Shum在文[5]中提出了负偏序半群及序滤子的概念。G.Birkhoff 在著作[11]中介绍了剩余半群的概念并研究了有关性质。我的导师黄文平先生在文[4]与[15]中提出了BCI-代数与偏序半群的联系，说明BCK-代数的伴随半群是负偏序半群。给出了某些BCK-代数的半群特征，指出BCI-代数的运算"*"是偏序半群中剩余的推广，揭示了BCI-代数的实质。本文通过讨论蕴涵BCK-代数的伴随半群，给出了蕴涵BCK-代数的若干特征，从半群的角度对这类BCK-代数加以刻划。 本文共分三个部分，按章划分。 第一章是银燕和预备知识。介绍了BCI-代数、BCI-代数的伴随半群与剩余半群的概念及有关性质。给出了BCK-代数的半群特征，进而说明正蕴涵BCK-代数在BCK-代数研究中的重要地位。由此揭示了研究蕴涵BCK-代数的重要意义。 第二章共分两节。第一节讨论了BCI-代数伴随半群中元素σ的象Imσ、核Kerσ和稳定子S(σ)的一些性质；第二节利用Imσ、Kerσ和S(σ)给出了蕴涵BCK-代数的半群特征。主要结果是：设X是一个BCK-代数,M(X)是X的伴随半群。则下列条件等价：（Ⅰ）X是蕴涵的；（Ⅱ） σ∈M(X),Imσ=S(σ)且Imσ是X的理想；（Ⅲ） a∈X,Ima-1=S(a-1)且Ima-1是X的理想；（Ⅳ） σ∈M(X),Kerσ、Imσ均为X的理想；（Ⅴ） a∈X,Kera-1和Ima-1均为X的理想；（Ⅵ） σ∈M(X),Imσ=S(σ)且M(Imσ)是M(X)的序滤子；（Ⅶ） σ∈M(X),M(Kerσ)和M(Imσ)均为M(X)的序滤子。由于X时正蕴涵的和交换的，因此有了正蕴涵BCK-代数和蕴涵BCK-代数的半群特征之后，自然想到研究交换BCK-代数的半群特征。我们得到了交换BCK-代数的伴随半群的一个必要条件，并举例说明该条件不是充分的，列在第二节的最后。 第三章讨论了蕴涵BCK-代数与剩余半群的关系。第一节说明一个蕴涵BCK-代数可以嵌入到一个剩余半群当中，从剩余半群的角度对蕴涵BCK-代数以刻划，给出了蕴涵BCK-代数的伴随半群作为剩余半群的若干特征。主要结果是：设X是一个BCK-代数，M(X)是X的伴随半群。则以下条件等价：（ⅰ）X是蕴涵的；（ⅱ）M(X)是剩余半群且 a,b,c∈X,(a-1:b-1):c-1=(a*c)-1:(b*c)-1,b-1:(b*a)-1=a-1:(a*b)-1;（ⅲ）M(X)是剩余半群且 σ，t∈M(X),σ:(σ:t)=t:(t:σ),(σ:t):t=σ:t;(ⅳ)M(X)是剩余半群且 σ，t∈M(X),σ: (t:σ)=σ;(ⅴ)M(X)是剩余半群且 x,y∈X,x-1:(y-1:x-1)=x-1.第二节对蕴涵BCK-代数的伴随半群作进一步讨论，得到如下结论：（1）X是蕴涵BCK-代数当且仅当（M(X),:,0-1）是一个具有条件(S)的蕴涵BCK-代数。（2）若X是一个蕴涵BCK-代数，则(M(M(X)),::,0-1-1)是一个具有条件(S)的蕴涵BCK-代数，且(M(X),:,0-1)≌(M(M(X)),::,0-1-1).