2017年闽南师范大学数学与统计学院912高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设A 为4×3矩阵，是非齐次线性方程组常数，则
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D
的3个线性无关的解，为任意
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
【解析】由题设知所以
4． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
5．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到基
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，
（1）存在
使得
使）
知
则令
是基，结论得证. 不然，
若
则
的真子空间，
使
7． 设n 阶方阵主对角上元素为1和0.
【答案】由于因子只能由
于是A 相似于
故A 满足构成.
故存在可逆方阵使
令即由此得
则由
得
因而A 的最小多项式整除
的初等
且
证明：存在可逆方阵P ，使
与
皆为对角矩阵且故
线性无关.
是V 的基，
结论得证，不然重复
故
线
性
无
关
，
且
（2）存在V 中的一组基（
2
）
由
（
1
是V 的S 个真子空间，证明：
【答案】（1）由有限不覆盖定理，
上面的步骤，并如此进行下去，得到基
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