2017年闽南师范大学数学与统计学院912高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C
=（ ）.
【解析】因为
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
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所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
由于故 4．
设
是
因此线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
到基
的基础解系. 又由是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明：若A+B=AB，则 ①AB=BA； ②r （A ）=r（B ）. =E.从而=E.由此得A+B=BA.故AB=BA. 【答案】①因A+B=AB，故（A-E ）（B-E ）（B-E ）（A-E ）证法I 因为A+B=AB，故A=（A-E ）B ，B=A（B-E ）且 第 3 页，共 43 页 所以r （A ）=r（B ）. 证法II 利用分块矩阵初等变换. 由 故 r （A ，B ）=r（B ）. 同理，r （A ，B ）=r（A ）. 因此，r （A ）=r（B ）. 7． 设 （1）β不能由（2）口可由（3）口可由【答案】设有数 线性表示； 惟一地线性表示，并求出表示式； 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 使得 作初等行变换，有 （1）当 为任意常数时，有 （2） （3） 试讨论当a ，b 为何值时， 得 但 是 可知秩A=秩 故方程组①有无穷多解，其全部解为 即β可由 线性表示，但表示式不惟一，其表示式为 8． 证明：奇数维欧氏空间的第一类正交变换有特征值1. 【答案】设T 是n （n 为奇数）维欧氏空间V 的第一类正交变换，即T 在某一标准正交基下的矩阵A 是正交矩阵且 第 4 页，共 43 页 证法因为n 为奇数，故
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