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一、计算题

1． 图（a ）所示振动系统中各杆刚度E1为常数，CD 杆中点处固定了一个集中质量m 。（1）试求出其自振频率（各杆自身的质量及杆的轴向变形忽略不计）。（2）如果将CD 杆换成一根抗弯刚度无穷大，且具有均匀分布质量密度的杆，如图（b ）所示，试列出系统自由振动微分方程，并求出其自振频率（其他杆自身的质量忽略不计）。

图

【答案】（1）在质量处加一竖向单位力，画出弯矩图如图（c ）所示。求柔度系数：

自振频率：

其任意时刻

（2）由于CD 杆为分布质量，其惯性力为三角形分布力，假设CD 杆的转角为图（f ）中，先用力矩分配法或位移法画出C 点单位位移引起的弯矩图，再求出最后在图（e ）中对D 点列力矩平衡方程：

方程整理后即为振动微分方程：

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的惯性力和位移图见图（d ）。原结构可以化为图（e ），其中的弹簧刚度系数按图（f ）求得。

2． 图示一水平面内刚架

，承受竖向均布荷载q 。试求C

点竖向位移。已知

各杆均为直径

的圆钢，

图1

【答案】作实际荷载作用下的弯矩

图和扭矩

如下图所示。

图2

C 点虚设竖向单位力作用，作用下的弯矩图和扭矩图如下所示：

图3

弯矩引起的变形位移为：

扭转引起的位移：

直径

的圆钢：

代入上式的位移中，计算出：

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所以C 点竖向位移为：7.7+6.0=13.7mm（↓）

3．

求图所示三铰拱在集中荷载作用下的合理拱轴线的表达式。

图

【答案】由于合理拱轴线的计算公式为

，其中FH 为拱的水平推力；

为相应简支

梁的弯矩。所以只要分段列出相应简支梁的弯矩方程，再除以水平推力计算公式

由于

可求得

即可，而由水平推力的

所以

4．

对例的刚架，当

时，求失稳时的临界荷载将计算过程和结果与例的计算过程和

结果相比较。从中可以得到什么启示？

【答案】由例题已求出，整体刚度方程为

当时，随着的増大，体系最终失稳，此时，

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