2017年河南大学数学与统计学院823专业基础课(高等代数)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
2． 求幂级数
【答案】
幂级数的系数
的收敛域、核函数.
.
由于
=1，故得到收敛半径R=1，
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函
数
则
其中
所以
3． 把对坐标的曲面积分
化成对面积的曲面积分，其中： （1）是平面（2）是抛物面【答案】（1）由于
在第一卦限的部分的上侧； 在xOy 面上方的部分的上侧。
取上侧，故在任一点处的单位法向量为
于是
（2）由于
取上侧，故在其上任一点
于是
4． 已知齐次线性方
程
的通解。
【答案】由题设知次方程化为标准形
与
都是齐次方程的解，y 1与y 2显然是线性无关的。将非齐则方程的通解为
其中
的通解
为
求非齐次线性方
程处的单位法向量为
因
5． 设
（1）求极限（2）证明（3）求和【答案】（1）当
；
。
时，有
故
由（2）由
知
（3）易知
由
，反复利用此公式，得
故非齐次方程的通解为
及夹逼准则知。