2018年华南师范大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组
使得
线性无关；
向量组
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
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又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
线性表出，也可
其中t 为任意常数.
线性无关.
和向量组
线性表示；
线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
不全为0
,
不全为0.
记
和向量组向量
线性表示.
则
即存在非零列向量
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 3．
已知
与
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
所有非零解
_
t 为任
【答案】由
于故B 的特征值
为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
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分别求A
的对应于特征值1
，2, -1的特征向量得
：令记
有
. 因此
即
则P 可逆
，且
4． 设
n 阶实对称矩阵A 满足
（Ⅰ）求二次型（
Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
且秩
的值
.
即或
贝
因为A
是
的规范形；
是正定矩阵
，
并求行列式
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
实对称矩阵，
所以必可对角化，且秩于是
那么矩阵A
的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因为
故
的规范形为
所以
矩阵B 的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
二、计算题
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