2018年长江大学园艺植物资源与利用314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
为任意常数.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.
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【答案】
⑴由可得
，
则矩阵
解得B
矩阵的特征值为：
当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为：
将单位转化为：
. 令
X=Qy,
则
其中
E 是四阶单位矩阵
3．
已知
是四阶矩阵A 的转置矩阵，
求矩阵A
【答案】对
作恒等变形，有即
由故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
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所以有
4． 设
（1
）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，则有及得
此时，原线性方程组增广矩阵为