2018年长江大学园艺植物资源与利用314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3．
设
为任意常数.
记
证明：
为三维单位列向量，并且
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
4． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
则
为4的2重特征值
，为4的单重特征值.
即A
相似于矩阵
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
二、计算题
5． 判定下列向量组是线性相关还是线性无关：
（1
）
（2
）
【答案】记（1）、（2）中向量所构成的矩阵为A. （1
）
（2
）
6．
设0,
故
证明A 的特征值只能取1或2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
则A=1或A=2.
【答案】设A 是A 的特征值，
则
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