2018年长安大学环境科学与工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
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，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而
组的基础解系为数.
3．
设线性方程m
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
试就讨论方程组的解的悄况
，备解时求出其解
.
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
作初等行变换，
如下
（
1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答
:
（2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解. 此时原方程组与同解，解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解.
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故原方程组的通解为
（3）当
时
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（4
）当
4．
设的所有矩阵.
即时此时方程组无解.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
二、计算题
5．
设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
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