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一、计算题

1． 试表述并验证桁架单元的“平衡-几何”互伴定理。

【答案】桁架单元的“平衡-几何”互伴定理为：

如果所选取桁架单元的内力

为共辄关系，则平衡矩阵和几何矩阵必互为转置矩阵：

采用方案进行验证。

桁架单元平衡矩阵为：

和变形之间

单元几何平衡矩阵为：

由 可知，桁架平衡-几何互伴定理成立。

2． 试导出桁架单元平衡矩阵与几何矩阵（局部坐标系）。

【答案】桁架结构为由直杆组成的一般具有三角形单元的平面或空间结构。在荷载作用下，桁架杆件主要承受轴向拉力或压力。采用方案将轴力和弯矩图1所示： 弯矩选为基本内力参数，如

图1

对于桁架单元，其弯矩

弯矩均为0, 则其单元平衡矩阵方程为：

故其单元平衡矩阵为：

利用共轭关系可得，方案对应的单元几何平衡矩阵为：

采用方案将轴力和弯矩

和剪力选为基本内力参数，如图2所示。

图2

对于桁架单元，其弯矩

剪力均为0, 则其单元平衡矩阵方程为：

故其单元平衡矩阵为：

利用共轭关系可得，方案对应的单元几何平衡矩阵为：