2018年浙江大学医学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
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2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（一）.... 2 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（二）.. 12 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（三）.. 20 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（四）.. 27 2018年浙江大学医学院314数学（农）之工程数学—线性代数考研基础五套测试题（五）.. 34
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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即满足AB=£；的所有矩阵为其中为任意常数.
2． 已知三元二次型
其矩阵A 各行元素之和均为0
,
且满足其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ
）若A+kE:五正定，求k 的取值
. 【答案】（Ⅰ）因为
A 各行元素之和均为
0, 即值
，
由征向量. 因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，
由此可知
是A
的特征
可知-1是A 的特征值，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0, 得
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3．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
其中E
是四阶单位矩阵
4．
已知
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即