● 摘要
本文讨论了 矩阵的一种判方法和一类特殊的非线性方程组 的迭代解法。
数学，力学等学科中的许多问题都可归结为求解大型稀疏矩阵的线性方程组 。 线性方程组的求解，主要有直接解法和迭代解法。当方程的阶数不太高时，用直接法比较方便。反之，在大多数情况下则使用迭代解法。近年来，随着电子计算机的出现和迅速发展，需要求解问题的规模越来越大，这就使得迭代法成为当前求解线性方程组的主要解法。而对于迭代解法，迭代格式的收敛性是一个关键问题，因为迭代格式必须是收敛的。早在1976年人们研究JOR, SOR, AOR等迭代矩阵时发现这些迭代矩阵的收敛性和$H$矩阵有非常重要的关系，即只要所讨论的矩阵是$H$矩阵，则JOR，SOR，AOR等迭代矩阵都是收敛的。因此有效的判别一个矩阵是否是$H$矩阵对于讨论一个迭代格式的收敛性是非常重要的。 本文第二章就是以此为出发点，对矩阵的判定方法进行研究，给出了$H$矩阵判定的一种方法，数值例子表明该方法是有效。第三章讨论了当非线性方程组的系数矩阵为奇异对称半正定时的一种迭代法，并对此迭代法作了收敛性分析。非线性方程组的求解问题随着科技的发展越来越受重视，早在70年代以前人们就在理论与数值解法上对非线性方程组作了大量的研究，在《 Methods for solving systems of nonlinear equations 》与《Iterative solution of nonlinear equation in several variables》这两本书中有较系统的介绍。但是，由于非线性方程组的求解问题无论在理论上还是数值解法上都不如线性方程组成熟和有效，所以，对非线性方程组解的存在性及寻找有效的数值方法均存在很多问题，需要进一步的研究与总结。
正文内容共分为三章，各章的主要内容如下：
第一章 绪论.这部分是为第二章和第三章作准备。
主要介绍了有关矩阵和非线性方程组的背景知识以及本文所做的工作。
第二章 非奇异矩阵的判定方法。本章共分为五小节，第一节主要介绍了$H$矩阵的预备知识， 二,、三、四节，分别从三个不同的角度对$H$矩阵作了判定, 最后一节是对本章的一个小结。
第三章 非线性方程组的迭代解法。 先介绍了非线性方程组的一些背景知识，针对特殊的非线性方程组，当系数矩阵为奇异半正定矩阵时提出了相应的迭代格式，并对此迭代格式作了收敛性分析。最后把得到的收敛定理分别运用到两步迭代法和块两步迭代法上。