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一、简答题

1． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。

（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。

2． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

二、计算题

3． 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 【答案】相互不对易的力学量可以有共同的本征态。例

如

就是它们的共同本征态，本征值皆为

4． 对于自旋的体系，求量

得

的概率和

的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测

相互不对易，

但

的平均值。

设本征态

本征值为则：

【答案】

将代回原方程：

即：

所以，因此有：

同理可得：

的本征态

所以在

态中测量

的几率为：

5． —个自旋为1/2的粒子在三维各向同性的谐振子势中运动，求其基态和第一激发态的能量、波函数和相 应简并度。已知质量为的无自旋粒子在一维谐振子势（频率为）中运动的波函数为基态

第一激发态

【答案】三维各向同性的谐振子可作分离变量求解，分别为三个方向的一维谐振子运动的并合。 基态为三个方向都在基态，加上自旋自由度可得波函数为：

其中，于是可知能量为

为自旋波函数。 简并度等于

因此相应能量为

6．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

相应简并度为6。

第一激发态为有一个方向处于第一激发态，故波函数为：

和]

且有试用Schmidt 方法构成正

贝IJ :

得：

同理，设则：

由

代入上式，得：

因此：

故：

7． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种

：

（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋

的全同粒子（例如电子）。

【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。

有如下六种：

（2）

单粒子态共有如下六种：

任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：

体系态共有或者，

从

种，即十五种。

三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称

态

及一种反对称态

态，共三种。 后者应与自旋三重态但轨道对称态还有3+3+9=15种。

试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

前者应与自旋单态相乘，而构成体系反对称

相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。

型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共