2017年河南大学数学与统计学院823专业基础课(高等代数)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.
，由向量的几何意头知
【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）
而
故设当
，
则由
时，△ABC 的面积取得极小值，由于驻点唯一，故当
得
.
因
，故
，即C 的坐标为（0, 0，）
时，最小.
2． 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图所示）。截面的面积为5m 。问底宽2为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？
【答案】设截面的周长为, 己知故令由
所以当截面的底宽为
, 得驻点
知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。
及
, 即
时, 才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省。
3． 求下列各极限：
【答案】
4． 如图所示电缆
的长为S ，跨度为21，电缆的最低点0与杆顶连线AB 的距离为f ，则电缆
长可按下面公式计算。
当f 变化了△f 时，电缆长的变化约为多少? 【答案】
5． 计算下列曲面积分：
，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面
，
的外侧；
，其中为半球面
，其中为球面
【答案】（1）将分成zOx 面上的投影区域均为
1和
2两片，
1为
；
其
中
为
锥
面
的上侧；
的外侧。 ，
2为
，1和2在
又由于被积函数关于y 是偶函数，积分曲面
1
和
2关于
zOx 面对称，故
由此得
（2）添加辅助曲面
所包围的空间闭区域上应用高斯公式得
，取上侧，则在由
和
1
于是
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