2017年济南大学数学科学学院881高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设a ，b ，c 为单位向量，且满足a ＋b ＋c=0，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a.
【答案】已知∣a ∣=∣b ∣=∣c ∣=1，a ＋b ＋c=0，故（a ＋b ＋c ）（a ＋b ＋c ）=0.即
·
因此
2． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是
【答案】解方程组
。该圆板被加热，以致在点
，求该圆板的最热点和最冷点。
求得驻点在边界
上，有
。
当比较
3． 含有未知函数的导数的方程称为微分方程, 例如方程为已知函数。如果函数
, 其中
f x ）为未知函数的导数, （
就称为这
时，有边界上的最大值及
的值知，最热点在
，
时，有边界上的最小值
，最冷点在
。
。
代入微分方程, 使微分方程成为恒等式, 那么函数
个微分方程的解。求下列微分方程满足所给条件
【答案】
由, 得, 于是所求的解为
由由
, 得, 得
故
, 于是所求的解为
4． 设Z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x 1，y l ，z 1）沿直线移到（x 2，y 2，z 2）时重力所作的功。
，质点移动的直线路径L 的方程为
【答案】重力F=（0，0，mg ）
于是
5． 设有一半径为R 、中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数μ。在圆心处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图建立坐标系，则相应小区间[θ，θ+dθ]的弧长为直方向引力分量为0，水平方向的引力分量为
故所求引力大小为
，方向为M 指向圆弧的中心。
，根据对称性可知所求的铅
图
6． 求函数
【答案】解方程组
的极值。
求得驻点又
由判定极值的充分条件知，在点
处，函数取得极小值
5.
求函数
答:条件由
在适合附加条件
可表示成，得
下的极大值。 ，代入。又
由一元函数取得极值的充分条件知，
为极大值点，极大值为
7． 设有一长度为1，线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。
【答案】如图设立坐标系，取y 为积分变量，则Y 的变化范围为[0, 1]，对应小区间[y, y+dy]与质点M 的引力大小的近似值为轴方向的分量分别为
因此
。
，则问题化为求的极大值。
，其中，把该力分解，得到x 轴、y
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