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一、计算题

1． 某工厂备购置一台新机器来扩大生产，新机器安装使用期为三年，在此之后不再使用。然而工作的三年 内，负荷较大，随着时间的增长，运行和保修费用将有较大幅度增加。因此，在机器使用1年或2年后再购置一 台新机器来代替它可能更经济，表给出了第i 年底购进一台新机器并在第j 年底将其卖掉所花费的总费用（购 置费加运行和保修费减残值，万元）。试将该问题描述成最短路问题，并求解。

表

【答案】把这个问题化为最短路问题。

图

用点v i 表示第i 年年初购进一台新设备，虚设一个点v 4，表示第3年年底。

边（v i ，v j ）表示第i 年初购进的设备一直使用到第j 年年初。

这样设备更新问题就变为:求从v 1，到v 4的最短路问题，计算结果表明:为最短路，路长为14. 即在第二年底更换新设备为最优决策，这时总费用为14万元。

2． 己知某工厂计划生产I ，II ，III 三种产品，各产品需要在A ，B ，C 设备上加工，有关数据见表。

表

试回答（l ）如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大?

借用设备 B 是否合算? （2）若为了增加产量，可借用其他的工厂的设备B ，每月可借用60台时，借用金1 .8万元，问

（3）若另有两种新产品IV ，V ，其中IV 需用设备A12台时，设备B5台时，设备C10台时，单位产品盈利 2.1千元; 新产品V 需用设备A4台时，设备B4台时，设备C12台时，单位产品盈利

1.87千元。如设备A ，B ，C 设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算?

（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构，改进后生产每件产品I ，需用设备A9台时，设备B12台时， 设备C4台时，单位产品盈利4.5千元，问这对原计划有何影响?

【答案】（l ）设分别生产产品I ，II ，III 三种产品x 1，x 2，x 3单位，由题意，可建立数学模型

在上述线性规划问题的约束条件中分别加上松弛变量x 4，x 5，x 6，得到其标准型为

建立初始单纯形表，并利用单纯形法进行迭代，过程如表所示。

表

所以，该线性规划的最优

解

。 ，最优目标函数值

为

（2）由最终单纯形表可知，设备B 的影子价格为4/15（千元/台时），而借用设备的租金为0.3（千元/台时）， 大于B 的影子价格，所以借用设备B 不合算。

（3）设分别生产IV 、V 产品x 7，x 8单位，x 7在最终单纯形表中对应的列向量及对应的检验数为

所以生产IV 产品在经济上不合算。

x 8在最终单纯形表中对应的列向量及对应的检验数为

所以，生产产品V 在经济上合算。

将x 8的系数列向量加入最终单纯形表，并进行进一步迭代，如表所示。