● 摘要
随着科学技术与工程计算的迅速发展,数值计算已成为推动理论和科学发展的重要方法.
众所周知,数值代数中的诸多问题都可归结为求解线性方程组数值解的问题.
求解线性方程组 Ax=b 有直接法和迭代法两类方法.
直接法作为最原始的方法一般用于阶数较低的线性方程组,如果不计舍入误
差,通过有限步操作可得到精确解 x .然而,随着计算机的飞速发展,所需求解问题的规模不断扩大,迭代法因其程序设计简单,所需存储量少的特点
取代直接法成为求解大型线性方程组最重要的一类方法.一般情况下
,与直接法不同的是线性方程组的迭代解法不能通过有限次的算术运算求得方程组的精确解
,而是逐步逼近精确解.因此,凡是迭代解法都
有收敛性与误差估计两方面的问题.首先,迭代解法的收敛性是一个关键性的问题,不收敛
或收敛较慢的迭代格式不予使用,所以收敛性的研究就是如何寻求收敛速度较快的迭代格式及如何确定迭代格式中的参数(如超松弛因子),这一理论的发展已日趋完善.
而迭代法的误差估计是数值代数
中又一重要研究课题,在科学计算中常用迭代法来求解大型线性方程组的近似解
,而解的精确度是否满足要求则可用误差估计做出判断.因此,
误差估计问题的研究对于实际问题和理论问题都具有重要的意义.
基本的迭代法有$Jacobi,GS,SOR,AOR,SSOR,SAOR$等, 文献([1]-[7])已详细阐述了这些迭代法的收敛性问题，而Theodore R.Hatcher,Jiang-Feng,Zhou RongFu和M.Madalena Martins, M. Estela Trigo and M.Madalena Santos又分别在文献(见于[19]-[21])
中得到了 SOR,AOR 迭代法和$SSOR,USSOR$迭代法的误差估计:在线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 是对称正定相容次序矩阵的条件下,
利用#的
范数及内积得到这些迭代法的误差向量#范数的一个上界,
其中,#是迭代法的第 n 个迭代向量. MSOR 作为一种对称的修正 SOR 迭代法,当然也是求解线性方程组的一种常用方法，当系数矩阵 A 分别为正定,严格对角占优,H 矩阵,
L 矩阵, M 矩阵时,文献([8]-[16],[26]-[30])分别阐述了 MSOR$的收敛性问题.对于对称 MSOR 迭代法而言,当系数矩阵$A$是2-循环系数矩阵时,文献([17]-[18])阐述了其收敛性问题. 本文主要讨论对称 MSOR 迭代法的误差估计问题:
按照文献[20]的方法,
从对称 MSOR 迭代法的特征值#与#迭代矩阵 B 的特征值#的关系式:
#
出发,在不同系数矩阵下对对称 MSOR 迭代法的误差估计进行全面分析:
(1) 第二章当系数矩阵 A 为(2.2)式对角元素全不为零的相容次序矩阵时,即 Jacobi 迭代矩阵 B 的特征值全为实数时, 得出对称 MSOR 迭代法的误差估计的一个上界.
(2)第三章当系数矩阵 A 为(3.2)式对角元素全不为零的相容次序矩阵时, 即 Jacobi 迭代矩阵 B 的特征值全为纯虚数或零, 得出对称 MSOR 迭代法的误差估计的一个上界.
两章内容均用实例说明了误差估计的有效性和实用性.