● 摘要
小波分析是近年来出现的一门应用非常广泛的数学分析方法,在理论和实际应用中发挥着重要的作用,它在函数论, 算子论, 偏微分方程, 非线性分析, 算子论, 数值分析以及图像处理, 信号传输, 数据压缩, 边缘检测, 数值分析以及图像处理中取得了巨大的成就.小波分析是工程师, 数学家们和物理学家共同努力的结晶, 是多元调和分析发展的壮举.随着小波分析迅速的发展, 框架也受到人们越来越多的关注, 框架是Riesz基的推广, 是Duffin 和Schacffer在1952年在研究非调和Fourier级数时提出来的.基于小波基具有衰减性, 消失矩, 光滑性等很好的性质, 能够做局部特征分析, 可以给许多普通函数空间提供了无条件基, 而且小波系数可以很好的刻画函数空间.因此激起了很多学者对小波基的构造方法研究热潮, 特别是在频域中构造小波集, 是构造小波集的效果比较显著的方法, 而框架小波是在 $L^2(R^d)$ 中小波的推广, 它条件比较弱, 且比小波具有更大的灵活性. 随着框架小波的进一步的研究, 许多学者发现了一类比较特殊的小波 （ $widehat{psi}=frac{1}{sqrt{2pi}}chi_{E}$, $E$ 是一个勒贝格可测集, $widehat{psi}$ 是 $psi$ 的Fourier变换), 从研究框架小波开始转移到研究一个可测集, 通过刻划一个可测集来刻划一个框架小波集. 当然, 框架小波集的研究还刚刚开始, 还有很多问题需要进一步的探究.
本文主要谈论了框架小波集的存在性, 以及框架小波集的刻划, 并得到了一些结论. 本文主要分为四部分:
第一章, 绪论, 简要介绍了小波分析的产生和框架小波集的研究现状.
第二章, 根据一种特殊的小波, 利用伸缩平移方法, 主要讨论了在 $L^2(R)$ 上的框架小波集的存在性, 以及紧框架小波集和规范紧框架小波集的充要条件.
第三章, 利用扩张矩阵, 主要讨论了在 $L^2(R^d)$ 上的框架小波集的存在性及其刻划, 以及紧框架小波集和规范紧框架小波集的充要条件, 还给出了一些推论.
第四章, 在 $L^2(R^d)$ 上的约化子空间的框架小波集, 以及紧框架小波集和规范紧框架小波集的充要条件, 还举出了一些例子.
关键词:小波; 小波集; 框架; 框架小波集; Fourier变换.