2018年天津师范大学计算机与信息工程学院603数学之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
得
故
知
故
【答案】
由题意知
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 3．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
4． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A 与S 阶矩阵B 都可逆，求
【答案】（1）因A 和B 均可逆，
作分块阵
由分块矩阵乘法规则，
于是
可逆，
且
⑵求的逆阵，就是求n+s阶方阵x ，使
为此，根据原矩阵的分块情况，对x 作一样的分块
，其中
把上式代入（1）式得到
比较上式两端两个矩阵，有
于是得
是未知矩阵（为明确起见，
它们依次是
. 矩阵）
6． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1
）（2
）（3
）
令
即
【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，
故把含的项归并起来，配方可得
写成矩阵形式：x=Cy，这里