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一、计算题

1． 与电子一样，中子的自旋也是，并且具有磁矩旋角动量，如果中子在相互垂直的两个磁场可能值，对应的几率和平均 值分别是多少？ 【答案】该体系中：

在

表象中设归一化的本征函数为

则有（能量本征值为）：

和

其中是一个常数，是中子的自中运动，求该体系的能级和波函数，

当能级之间发生跃迁时，可能的跃迁频率有几个，大小是多少？在各本征态中，自旋第三分量的

久期方程为：从而可得：对应能量本征值.

的本征函数满足：

不妨设则此时满足的解为：

同理可得，

对应能量本征值的本征态为：

当发生能级跃迁时，可能的跃迁频率有两个，为（2）在

表像中，

的本征态为：

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所以，在

态中：

的几率为：

的几率为：

其平均值为：在

态中：

的几率为：

的几率为：

其平均值为：

2． 设

为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，

某态表示为

在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）

内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿

的几率。

为总角动量，计算在该态下的平均值。

在薄球壳

内找到粒子的概率

【答案】（1）由题意可得：为：

（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：

故：

已知在本征态表象下因此有：

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（3）在下的平均值为：

3． 一粒子在力学量的三个本征函数

所张成的三维子空间中运动，其

能量算符

和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由

令

可得

其中a , b为实数。 表示）：

由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值

将式中各个值代入式中可以得到

其中k 为

的平均值，而

其中

为3行的任意列矩阵，则

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