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一、计算题

1． 计算星形线

【答案】

，

的全长。

2． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.

（1） （2） （3） （4）

【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为

，边界为

.

（3）集合是开集，区域，无界集；导集为

（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为

3．

设

（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：

【答案】（1）由题意得

由

，得

（2）令

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; ;

;

. . ，

边界为

，边界为

.

（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为

其中a , b 为常数，又

设

故

即g （x ）满足微分方程①，又

故g （x ）也满足初始条件②。 因此

4． 求函数数。

【答案】按题意，方向又

在点

处沿从点

到点

的方向的方向函

，即

。

故

5． 求图中各画斜线部分的面积：

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【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。

如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为

、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有

2

（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有

（3）解方程组

得到交点坐标为（-3，-6）和（1，2）。

x

如果取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-3，l]，相应于[-3，1]上的任一小区间[x，x+dx]的

22

窄条面积近 似于高为（3-x ）-2x=-x-2x+3、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

如果用y 为积分变量，则y 的变化范围为[-6，3]，但是在[-6，2]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近 似于高为dy 、

宽为

[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为

从这里可看到本小题以x 为积分变量较容易做. 原因是本小题中的图形边界曲线，若分为上下

的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间

的窄矩形的面积，因此有

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