2017年青岛理工大学理学院816高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
线性相关，故选D.
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
4． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C. 5． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
二、分析计算题
6． 矩阵
是矩阵方程AX=B的导出方程AX=0的解<=>存在矩阵的基础解系为列作成的矩阵.
【答案】
一列可由齐次线性方程组
令则有
取
的解.
所以AD=0. 证完.
7． 计算n 级行列式
的值，其中
【答案】将
升阶
即可
.
如D=GF, 则D 的列是G 列的线性组合，又G 的列为
的解. 所以D
的任一列为
则D 的列向量是线性方程组的基础解系线性表示.
基础解系为
的解，因而D 的任使D=GF.这里G
是以
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